【인민교육출판사】중학교 수학 8학년 하반기: 종이 조각 겹치기의 비밀

물리적 평행광선이 종이 판의 구멍을 통과해 테이블 위에 남기는 빛의 자국을 상상해 보세요. 또는 가장자리가 서로 평행한 반투명 종이 조각 두 장을 임의로 잘라내어 교차하여 겹쳐 놓는 상황을 생각해 보세요. 어떤 각도로 이 종이 조각을 회전하더라도, 빛 아래에서 겹쳐진 어두운 영역은 항상 완벽한 기하학적 도형 ——평행사변형입니다.

평행사변형의 본질과 분석

在几何学中，“平行”代表着永不相交的秩序。当我们结合两组互相平行的线段时，就定义了这个迷人的多边形：두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라 합니다($\square ABCD$로 표기함).

为了解开平行四边形的秘密，数学家们采用了一种绝妙的降维打击策略：“대각선을 연결하기”한 개의 대각선으로 인해, 알 수 없는 사각형이 우리가 이미 알고 있는 두 개의 삼각형으로 즉시 나누어집니다!

단계 1: 대각선을 도입하여 다리를 건설하기

如图 18.1-3, 在 $\square ABCD$ 中连接对角线 $AC$。

평행선의 '내각' 마법을 활용합니다:
$\because AD \parallel BC$ 이고 $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, 그리고 $\angle 3 = \angle 4$입니다.

단계 2: 합동 삼각형의 승리

이때, $AC$는 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$의공통 변입니다.

각-변-각(ASA) 정리에 따라, $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$입니다.
합동이 되면, 대응 요소는 완전히 일치합니다:
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, 그리고 $\angle B=\angle D$입니다.

거리와 높이: 평행선의 지속적인 협력

왜 평행사변형이 어떤 각도로 기울어져도 같은 밑변에 대한 높이는 항상 동일할까요? 이는 또 다른 핵심 개념을 제시합니다:평행선 사이의 거리두 평행선 사이에는 한 직선 위의 임의의 점에서 다른 직선까지의 수직선분을 두 평행선 사이의 거리라고 합니다. 마치 철도의 두 레일 사이에 놓인 침목의 길이가 항상 일정한 것처럼 말입니다.

🎯 핵심 법칙과 판단 정리

只要掌握了拆分成全等三角形的技巧，你就能轻松推导出所有的性质与判定定理！

성질 정리:平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定定理（逆向推演）：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

질문 1

在平行四边形 $\square ABCD$ 中，已知相邻两边 $AB=5$，$BC=3$，求该平行四边形的周长。

질문 2

在平行四边形 $\square ABCD$ 中，已知内角 $\angle A=38^{\circ}$，则 $\angle B$ 和 $\angle C$ 的度数分别是多少？

$\angle B=142^{\circ}$，$\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$，$\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$，$\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$，$\angle C=38^{\circ}$

QUESTION 3

小明向正东方向走 $80\text{ m}$ 后，沿另一个方向又走了 $60\text{ m}$，接着再沿第三个方向走 $100\text{ m}$ 正好回到原地。请问小明向东走 $80\text{ m}$ 之后，第二次是向哪个方向走的？

正南或正北

东北或东南

正东或正西

西北或西南

QUESTION 4

为了保证铁路的两条直铺的铁轨绝对互相平行，工人们只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长度全部相等就可以了。这蕴含了哪种几何原理？

处在两条平行线之间的平行线段相等，且平行线间的距离处处相等

全等三角形的对应角相等

对角线互相平分的四边形是平行四边形

三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半

QUESTION 5

如图所示 $\square OABC$ 在直角坐标系中，顶点 $O, A, C$ 的坐标分别是 $(0,0), (a,0), (b,c)$。利用平行四边形的性质，顶点 $B$ 的坐标应该是多少？

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

实战演练：平行四边形深度探究

运用全等三角形与判定定理解决综合问题

[动手探索] 剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形 $ABCD$。转动其中一张纸条，线段 $AD$ 和 $BC$ 的长度有什么关系？为什么？

详细解析：
关系：线段 $AD = BC$。
原因：两张纸条交叉叠放时，由于纸条本身的对边是互相平行的，因此重合区域组成的四边形 $ABCD$ 中，必然存在 $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$。根据定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，四边形 $ABCD$ 是一个平行四边形。再根据平行四边形的性质定理“平行四边形的对边相等”，得出 $AD = BC$。无论如何转动角度，这一定理始终成立。

[周长与对角线] 在 $\square ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$。已知 $BC=10, AC=8, BD=14$。
(1) $\triangle AOD$ 的周长是多少？
(2) $\triangle ABC$ 与 $\triangle DBC$ 的周长哪个长？长多少？

详细解析：
(1) 求 $\triangle AOD$ 的周长：
根据平行四边形“对角线互相平分”和“对边相等”的性质，可知：
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$，
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$，
$AD = BC = 10$。
所以 $\triangle AOD$ 的周长 = $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$。

(2) 比较 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DBC$ 的周长：
$\triangle ABC$ 的周长 = $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$。
$\triangle DBC$ 的周长 = $CD + BC + BD$。因为 $CD = AB$，故周长 = $AB + 10 + 14 = AB + 24$。
对比发现，$\triangle DBC$ 的周长比 $\triangle ABC$ 长，且长了 $24 - 18 = 6$。

[证明题挑战] 如图，$\square ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 是一条过点 $O$ 的直线，且与 $AB, CD$ 分别相交于点 $E, F$。求证：$OE=OF$。

证明过程：
在 $\square ABCD$ 中，对边 $AB \parallel CD$，且对角线互相平分，所以 $OA = OC$。
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ （两直线平行，内错角相等）。
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中：
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (对顶角相等)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (ASA 定理)。
$\therefore OE = OF$ （全等三角形对应边相等）。证明完毕。
*洞察：这个结论说明，过平行四边形中心的任意直线，不仅平分平行四边形的面积，其被对边截得的线段也被中心平分。

[多图形联动] 如图，有两个互相连接的四边形 $ABCD$ 和 $CDEF$，已知 $AB=DC=EF$，$AD=BC$，$DE=CF$。图中有哪些互相平行的线段？

详细解析：
图中的平行线段有三组：$AB \parallel DC \parallel EF$，$AD \parallel BC$，以及 $DE \parallel CF$입니다.
推理过程：
1. 在四边形 $ABCD$ 中，因为 $AB=DC$ 且 $AD=BC$。根据判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。由此得到 $AB \parallel DC$ 和 $AD \parallel BC$。
2. 同理，在四边形 $CDEF$ 中，因为 $DC=EF$（由 $AB=DC=EF$ 得出）且 $DE=CF$。四边形 $CDEF$ 也是平行四边形。由此得到 $DC \parallel EF$ 和 $DE \parallel CF$。
3. 最后，因为 $AB \parallel DC$ 且 $DC \parallel EF$，根据平行线的传递性，必然有 $AB \parallel EF$。所以 $AB, DC, EF$ 这三条线段是互相平行的。

[代数与几何融合] 如果四边形 $ABCD$ 是平行四边形，已知一边 $AB=6$，且 $AB$ 的长正好是 $\square ABCD$ 周长的 $\frac{3}{16}$。那么相邻边 $BC$ 的长是多少？

详细解析：
1. 首先根据 $AB$ 的长度比例求出总周长。周长 $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$。
2. 根据平行四边形对边相等的性质，周长 $= 2 \times (AB + BC)$。
3. 将已知数值代入方程：$32 = 2 \times (6 + BC)$。
4. 解得 $6 + BC = 16$，所以 $BC = 10$。

[概念辨析] 满足下列条件的四边形是不是正方形？
(补充知识：如果是直角三角形，三边满足 $a^2=c^2-b^2$。四边形如何进一步演化？)
如果三角形的三边长 $a, b, c$ 满足 $a^2 = c^2 - b^2$, 这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

详细解析：
是的，它是直角三角形！
将等式 $a^2 = c^2 - b^2$ 进行简单的代数移项，可以得到：$a^2 + b^2 = c^2$입니다.
根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形（且 $c$ 为斜边）。
*拓展思考：如果一个平行四边形被其对角线切分成两个直角三角形（即平行四边形的内角为 $90^{\circ}$），它就演化成了矩形；如果同时相邻的两边又相等，它就最终演化为正方形。基础的直角与平行概念，正是探究所有特殊四边形的基础！